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万有引力下的天体运动

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宇宙中的星体,都是处在万有引力作用下的。天体运动是一种处于万有引力作用下的典型的圆周运动。本文系统阐述万有引力定律,及处于万有引力作用下的天体运动。

万有引力定律的概念

万有引力定律是英国物理学家牛顿的重要贡献。万有引力定律的发现,是17世纪自然科学最伟大的成果之一。它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了起来,对以后物理学和天文学的发展具有深远的影响。它第一次解释了(自然界中四种相互作用之一)一种基本相互作用的规律,在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑。万有引力是我们高中物理必修二中独立的一个章节,作为一种特殊的匀速率圆周运动模式,在高考物理试卷中每年必考。

历史:万有引力定律是牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。牛顿的普适万有引力定律表示如下:任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引。该引力的大小与它们的质量乘积成正比,与它们距离的平方成反比,与两物体的化学本质或物理状态以及中介物质无关。

牛顿

万有引力定律的公式

公式为F引=GMm/(R2

其中:F引为M与m之间的万有引力;G为万有引力常量(由卡文迪许测量出);M为某个天体的质量,m为研究对象的质量,R为两者的距离。

万有引力定律的基础:开普勒行星运动三大定律

开普勒行星运动三定律内容如下:

 开普勒定律

开普勒第一定律:所有行星都在椭圆轨道上运动,太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上;

开普勒第二定律:行星沿椭圆轨道运动的过程中,与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等;

开普勒第三定律:行星轨道半长轴的立方与其周期的平方成正比,即:(R3)/(T2)=k 开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟答的大量观测数据的基础上概括出的,给出了行星运动的规律,而这些规律正式万有引力问世的前提。

万有引力与重力的关系

一般的星球都在不停地自转,因此星球表面上的物体所受的万有引力F有两个作用效果:一个是重力G,一个是向心力fn。它们间的关系是:F=G+fn(F是G和fn的矢量和)。

地球表面的物体所受到的向心力fn的大小不超过重力G的0.35%,因此在计算中往往认为万有引力和重力大小相等。

在地球万有引力作用下的人造卫星

地球人造卫星所受的万有引力只有一个作用效果,就是使它绕星球做匀速圆周运动。根据牛顿运动定律内容,地球对卫星的万有引力等于其向心力。用公式来表达就是F引=Gm1m2/(R^2)=mvω;

天体与万有引力定律

(1)人造卫星的线速度和周期。从公式中我们可以推出,人造卫星的轨道半径r、线速度大小v和周期T是一一对应的,其中一个量确定后,另外两个量也就唯一确定了。离地面越高的人造卫星,匀速圆周运动线速度、角速度、加速度越小,但是周期越大。

(2)近地人造卫星。近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R。因为是在地球地面附近,根据上一条性质,我们不难有这样的结论:近地卫星是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度、最小周期。

(3)同步人造卫星。“同步”的含义就是和地球保持相对静止(也叫静止轨道卫星)。同步卫星的周期等于地球自转周期,既T=24h,根据(1)可知其轨道半径是唯一确定的,经过计算可求得同步卫星离地面的高度为h=3.6×107m≈5.6R地(3.6万公里)。该轨道必须在地球赤道的正上方,卫星的运转方向必须是由西向东,与地球一致。

在万有引力作用下双星的运动

宇宙中往往会有相距较近,质量可以相比的两颗星球,它们离其它星球都较远,因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下,它们将各自围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。在天文学中,我们把这种运动模式的星体结构叫做双星。由于双星和该固定点总保持三点共线,所以在相同时间内转过的角度必相等,即双星做匀速圆周运动的角速度必相等,因此周期也必然相同。

双子星的运动

由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的,因此大小必然相等,由F引=mvω,得 ,因此,即固定点离质量大的星较近。由于角速度相同,还可推出线速度大小跟质量成反比。 在解题的运算过程中需要注意:万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离,而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径,两者是不一样的,因此在具体的问题中要具体对待,千万不可混淆。

万有引力定律的常量G数值

牛顿在推出万有引力定律的同时,并没能得出引力常量G的具体值。

卡文迪许

G的数值于1789年由卡文迪许利用他所发明的扭秤得出。卡文迪许的扭秤试验,不仅以实践证明了万有引力定律,同时也让此定律有了更广泛的使用价值。 卡文迪许测出的G=6.7*10^-11 N*m^2/kg^2,与现在的公认值6.67×10^-11N*m^2/kg^2极为接近;直到1969年G的测量精度还保持在卡文迪许的水平上。

三大宇宙速度及其意义

(1)三个宇宙速度的值分别为:

第一宇宙速度v1=7.9 km/s;具体推导过程

第二宇宙速度v2=11.2 km/s;具体推导过程

第三宇宙速度v3=16.9 km/s

(2)宇宙速度的实际运用意义

当发射速度v与宇宙速度分别有如下关系时,被发射物体的运动情况将有所不同:

①当v<v1时,被发射物体最终仍将落回地面;

②当v1≤v<v2时,被发射物体将环境地球运动,成为地球卫星;

③当v2≤v<v3时,被发射物体将脱离地球束缚,成为环绕太阳运动的“人造行星”;

④当v≥v3时,被发射物体将从太阳系中逃逸,成为“人造彗星”;

推荐:六大宇宙速度详解http://gaozhongwuli.com/top/473865.html

卫星或其他天体的引力势能

人造卫星或者其他的天体,都具有动能和引力势能。

以绕地运行的人造卫星为例,动能随着R的增大而减小,而引力势能则随着R的增加而增大。

具体引力势能的定义与推导过程,并不是本文的重点,具体见下方《参考文献》的讲解。

推荐阅读

万有引力什么时候等于重力?http://gaozhongwuli.com/zongjie/kaodian/437650.html

参考文献

高考核心考点http://gaozhongwuli.com/zongjie/kaodian/32195.html

圆周运动http://gaozhongwuli.com/zongjie/kaodian/43179.html

引力势能的推导过程http://gaozhongwuli.com/top/479305.html

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主要撰写:王尚,小宁,崔强;文字勘误:徐宏兵,刘源,苏阳。

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