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人造卫星引力势能公式的微积分推导

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高考物理复习注意知识回顾

高考物理命题的一大特点就是综合,一道复杂的计算题,往往会涉及到多个章节的内容,需要联立很多公式求解计算。

对高三学生而言,在复习完了《机械能》这个章节之后,我们就会反过头来研究上个章节《万有引力与航天》部分的能量:引力势能。

同学们可以看一下第六章《万有引力与航天》的内容,这个章节中我们一直探究的是物理量是:万有引力、向心力、星体的周期、密度等物理量,没有研究能量的涉及;因为能量和功率是在《机械能》这部分才讲的。

人造卫星能量分析

天体运动而言,研究的主要能量是引力势能+动能。

人造卫星的总能量包括两种类型:动能和引力势能。总能量为两者之和;这里的引力势能是卫星相对于地球(而非太阳)而言的。

对人造卫星而言,距离地球越远,具有的总能量越大。

具体来看:

R越大,E总=Ek+Ep越大;

R越大,Ek越小;

R越大,Ep越大;

(Ep的增量比Ek的减量要大,或者说Ep增大的率,要比Ek减小的率大)

宇宙速度

Ek随着轨道半径R减小,可以通过向心力=万有引力的公式与动能的定义式推导出来。

在宇宙中的运动,如果推力器的引擎是关闭的,那么人造卫星的机械能是守恒的,因为只有重力做功;运动过程中,只有引力势能和动能之间的转化。

补充一点:人造卫星一分为二的过程除外;该过程是动量守恒

人造卫星引力势能公式的微积分推导

引力势能的表达式是:Ep=-GMm/R;其中Ep是引力势能,G是万有引力常量;M是地球的质量,m为研究对象的质量,R为m距离地球中心的距离;负号表示的是,引力势能为负值。因为我们规定的是无穷远处为零势能面。

引力势能的表达式是怎么来的?王尚老师给同学们做了一个微积分的推导,见下图所示:

其中A为人造卫星目前所在的位置;B为无穷远处的一个点(该点的引力势能为零);

把质量为m的卫星从A推到B点,至少要做的功的计算式如下图:

引力势能公式推导过程(微积分)

从功和能之间的关系来分析,功的大小,等于能量的大小。只不过,在A点卫星的势能为负的。

为什么是负的,同学们可以想一想把一个物体举高的过程,做的功与重力势能的改变及对应关系。

参考文献

 六大宇宙速度介绍http://gaozhongwuli.com/top/473865.html

三大宇宙速度http://gaozhongwuli.com/zongjie/kaodian/437663.html

开普勒三大定律http://gaozhongwuli.com/top/480421.html

人造卫星http://gaozhongwuli.com/zongjie/kaodian/480392.html

万有引力http://gaozhongwuli.com/zongjie/kaodian/43180.html

三个宇宙速度的数值http://blog.teacherws.com/wen/13451.html

高中物理必修2重要考点汇总http://gaozhongwuli.com/zongjie/b2/480777.html

第二宇宙速度的推导http://i.gaozhongwuli.com/research/14199.html

作者:王尚,苏阳。校正:齐思源。版权归属高中物理网(gaozhongwuli.com),严禁转载。

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