动能定理

王尚老师微信

近半个世纪的几百份高考物理试卷中，都有对动能定理的考察，其重要性不言而喻。本文从动能定理的基本概念、表达式、根源、意义、命题特点、使用步骤等方面来做详细的解析。先来看王尚老师视频讲解，动能定理的概念介绍在视频下方。

王尚老师为动能定理录制了若干视频，下方分享两道典型例题，获取更多动能定理视频请添加微信teacherws

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视频1：动能定理典型题讲解

视频2：动能定理典型题讲解

动能定理的基本概念

合外力做的功，等于物体动能的改变量，这就是动能定理的内容。动能定理还可以表述为：过程中所有分力做的功的代数和，等于动能的改变量。

这里的合外力指研究对象受到的所有外力的合力。

动能定理的表达式

动能定理的基本表达式：F_合s=W=ΔE_k；

动能定理的其他表示方法：

∫Fds=W=ΔE_k；

F₁s₁+F₂s₂+F₃s₃+……=ΔE_k；

功虽然是标量，但有正负一说。最为严谨的公式是第二个公式；最常用的，有些难度的却是第三个公式。

动能定理示意图

动能定理根源

我们来推导动能定理，很多学生可能认为这是没有必要的，其实恰恰相反。

近几年的高考物理试题，特别注重基础知识的推导和与应用。理解各个知识点之间的关联，能够帮你更好的理解物理考点。

在内心理解了动能定理，知道了它的本源，才能在考试中科学运用动能定理来解题。动能定理的推导分为如下两步：

（1）匀变速直线运动下的动能定理推导过程

物体做匀变速直线运动，则其受力情况为F_合=ma；

由匀变速直线运动的公式：2as=v²-v₀²；方程的两边都乘以m，除以2，有：

mas=½（mv²-v0²）=E_k2-E_k1=ΔE_k；

上述方程的左端mas=F_合s=W；

因此有：F_合s=W=ΔE_k；

这就是动能定理在匀变速直线运动情况下的推导过程。

（2）普通直线运动模式下动能定理的推导过程

运用微积分wuli.in的思想，我们普通运动模式进行拆分，将其肢解为非常小的一段一段的运动（微元法应用；请同学们思考下位移公式的推导过程）。

当我们的运动模式被无限分割后，每一小段都可以认为是匀变加速直线运动模式（要么a＞0；要么a＜0；要么a=0）。

对任何一段（从t=m到t=n），我们都可以利用（1）中的推理过程得到W=F_合s=ma_n=E_n-E_m

对整个过程，我们有：

W_总=W₁+W₂+W₃+……=ma₁+ma₂+ma₃+……=（E₂-E₁）+（E₃-E₂）+（E₄-E₃）+……+（E_n-E_m）+……=E_末-E_初

即，W_总=E_末-E_初；这就是普通的直线运动模式下的动能定理推导过程。

曲线运动模式下，动能定理也是成立的，其推导过程不再这里分析，有兴趣的同学可以自己去研究下。

动能定理的实验验证示意图

动能定理的意义

无论是研究外力做的功，还是求物体动能的变化，除了最基本的定义外，我们有了另一条求解途径。

动能定理建立起过程量(功)和状态量(动能)间的联系。

我们在分析复杂运动模式时，除了牛顿动力学内容外，还可以借助于动能定理，避开中间复杂的（求加速度等）过程。

动能定理与其他考点联系

动能定理和其他知识点的联系太多了。比如，圆周运动的问题，竖直面内从最低点到最高点的运动，就是要借助动能定理来求解的。

复杂的两个（或三个）物体，在摩擦力下的运动，有时候用牛顿定律求解很不好求，用牛顿定律+动能定理联合求解，往往会变得简单。

动能定理还会与静电场的问题结合起来，比如求解库仑力做功的问题，因为是变力做功，没有办法直接根据功的定义求解，所以往往是通过动能定理来计算的。

与电磁感应结合，也是动能定理常见的考题。这种情况下往往是研究导体棒运动，在摩擦力、安培力、外界拉力下导体棒动能的变化问题。

如果你仔细分析，你还会发现，爱因斯坦的光电效应方程，与动能定理也非常的近似，或者是动能定理方程的在光学中的推广。

总之，动能定理这个考点太灵活了，几何可以和任意的一个章节结合在一起命题。所以从力学能量开始，任何一个章节遇到复杂的功能关系的问题，同学们要有意识的思考动能定理能不能应用。

动能定理的实验验证示意图

应用动能定理解题的步骤总结

(1)确定研究对象和研究过程。动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。(原因是这时系统内所有内力做的总功不一定是零，会产生或释放其他形式的能量)。

(2)对研究对象进行受力分析。(研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力)。

(3)写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。

(4)写出物体的初、末动能，按照动能定理公式列式求解。

应用动能定理解题的注意事项

1.动能定理内的物理表达量都是标量式，当合外力对物体做正功时，Ek₂>Ek₁物体的动能增加；反之则Ek₁>Ek₂，物体的动能减少；

2.动能定理研究的对象应为单一的物体，或者可以当做整体的物体系；如果不是一个整体，那么就有矛盾：到底分析哪个物体所受到的合外力？研究哪个物体的始末态动能？

3.动能定理的计算式一般以地面为参考系；各个速度都是以地面为参考系的（不能代入相对速度）。王尚新书物理自诊断每道题都有视频讲解，哪道题不会扫题旁二维码即可看视频，学习更高效考试分数更高，欢迎微信teacherws咨询。

4.动能定理适用于直线运动，也可使用于曲线运动；适用于恒力（合外力）做功，也适用于变力做功；力可以分段作用，也可以同时作用，求出各个力所做功的正负代数和即可，这就是动能定理（相对牛顿动力学）的优越性。

5.动能定理的合外力是物体所有的外力之和，在列式计算的时候，画出受力图来，列公式时不要丢力。

动能定理与机械能守恒的区别和联系

区别

1动能定理的研究对象是单独一个物体，机械能守恒定律的研究对象一般是多个物体构成的系统；也可以是一个物体。

2动能定理公式等号的左侧是合外力所做的功，右侧是动能的改变量；是功和能之间的联系。机械能守恒定律公式等号的左侧是一种状态的机械能之和，右侧是另一种状态的机械能之和；是能量不变的方程。

联系

1都可以不去分析具体的加速度、时间来研究能量的变化。

2都可以用来求解动能（速度大小）或动能的改变量。

动能定理学习问题与王尚老师回复

王尚老师答疑

学生问题:1：什么时候用动能定理，什么时候用机械能守恒定律？遇到综合题解题分析时如何考虑呢？

王尚老师：我还是建议你除了做物理自诊断的题外，还要多看我的视频讲解。在物理自诊断专题19专题20的很多视频中，我都进行了对比分析。动能定理只能研究单个物体（或者可以看出单个物体的整体），机械能守恒定律的前提条件是，只有重力或弹力做功。因此，单独一个物体的，优先考虑动能定理，多个物体且满足只有重力弹力做功的，优先考虑机械能守恒定律。多个物体且机械能不守恒的，考虑能量守恒定律。建议认认真真把物理自诊断专题19专题20的题都做了一遍进行对比分析，多看我的视频解析。

学生问题2：王尚老师您好，物理自诊断中一些复杂题是用动能定理求解的，特别是复杂过程考虑始末态直接用动能定理确实很简单，这类问题我遇到的，总是想不到用动能定理可咋办啊？有什么技巧吗？

王尚老师：您仔细分析物理自诊断的一些题，就能有所感触。比如动能定理专题的例3例5，就是研究变力做功的问题，一个是力在变化，另外一个是轨迹是弧线而非直线，类似的问题有很多。根据功的基本求解公式，这类题是绝对求解不出来的。这类题，肯定是动能定理的应用。可能你想说，机械能守恒不行吗？不行，这是因为机械能研究的是能量，并没有做功的因子在里面啊。另外还有物理自诊断专题20的例8你也要多想想。例8是多过程问题的动能定理使用，你要是单个过程研究（牛顿动力学），那得研究到什么时候？专题22的例9第三问，你也可以思考下，你想一想这类问题，不用动能定理能做出来吗？显然是不行的，为啥呢？因为运动过程中，弹簧弹力始终在变化啊，加速度就不固定。遇到了非匀变速运动问题，变力或运动轨迹复杂的问题，往复运动问题，特别是题目要求计算功的，你得主动往动能定理这里想。做题做对了还没完，一定要反思多总结。

学生问题3：动能定理与机械能守恒到底如何选择？

王尚老师：如果都成立，我个人还是喜欢用动能定理，这是因为动能定理不用规定零势能面，少一个步骤，节省了书写汉字的十几秒钟时间。我说过，有95%的高考生做不完物理考试卷子，十几秒钟的考试时间在高考考场上是非常宝贵的。我归纳了下动能定理和机械能守恒定律在解题上的选择：

（1）单独一个物体，或多个物体组成的整体（彼此没有相对运动）二话不说就先尝试动能定理。（注意动能定理的第二表达式，各个力做功代数和等于动能改变量，考这个公式的题更多。）

（2）如果物理考题中有多个物体（含弹簧）的运动过程，且满足只有重力、弹力做功，大部分情况下在考机械能守恒定律。

（3）摩擦力出现，一般否掉机械能守恒定律，这道题考的十之八九是动能定理。要是设计多个物体，比如某个物块冲上木板车，还可能配合能量守恒定律来求解。

（4）常见的能量有五种，文章底部的参考文献有详细介绍，这里做一个列举：动能+重力势能+弹性势能+内能（包括两类：摩擦热与焦耳热）+电势能。对高一学生而言，电势能还没学；原文作者王尚老师。能量守恒的表达式，就是这五种形式能量加起来是不变的。

（5）如果一道力学综合题中，出现时间t和加速度a的问题，这类题十之八九不是考动能定理，也不是考机械能守恒，而是在考察牛顿动力学（牛二定律+直线运动三方程）。当然了，辅助去列动能定理或机械能守恒定律方程，也是可以的。

（6）摩擦生热的公式是Q=μN△x，△x指的是相对位移。这个是Q的定义式，考试可以直接用。用摩擦生热的方程，能量守恒定律。因为此时机械能不守恒，摩擦生热对应的是内能，动能定理不包括这个因子。上述知识的梳理，同学们可以借助物理自诊断的专题19,20和21中的例题和配套的视频来进一步理解。