曲线运动

在这篇文章中，我们分析了曲线运动的概念和运动特点，并重点介绍了平抛运动与圆周运动这两种运动模式。

曲线运动定义

如果物体的运动轨迹是一条曲线，我们就说这个物体在做曲线运动。

曲线运动的条件和特点

（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。

（2）曲线运动的特点：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。

物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。运动的合成与分解基本关系：分运动的独立性；运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；运动的等时性；运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。） 

平抛运动的概念

物体以一定的初速度沿水平方向抛出，如果物体仅受重力作用，这样的运动叫做平抛运动。

平抛运动可看作水平方向的匀速直线运动以及竖直方向的自由落体运动的合运动。这是整个高中物理中，最基本的运动合成与分解的应用。

平抛运动的物体，由于所受的合外力为恒力，所以平抛运动是加速度恒定的运动。但注意，其运动方向并不是直线，因此可以这么说平抛运动：平抛运动是匀变速曲线运动。从字眼上来说，平抛物体的运动轨迹为一条抛物线。其实，平抛运动的概念，就是高中数学中讲到的抛物线（二次曲线）中“抛物”二字的由来了。我们会在下文中给大家做一个非常简单的证明。

平抛运动的基本公式

水平和竖直方向的位移公式：

平抛运动的分速度公式：

平抛运动的基本性质

从历年高考物理试题来看，平抛运动是所有运动概念和分类中考察最多的一种。下面这是一些最基本的结论。

平抛运动的时间仅与抛出点的竖直高度有关。

物体落地的水平位移与下落时间、水平初速度大小有关。

平抛运动的物体在任何相等的时间内速度的增量都是相同的。

平抛运动的物体在任意相等的时间里，物体动量的变化量相等。

落地时间越长，速度越接近于竖直状态。

平抛运动可看作水平方向的匀速直线运动以及竖直方向的自由落体运动的合运动，这两个分运动各自独立，又是同时进行，具有分运动的独立性和等时性。

平抛运动重要的结论

如下的三个推导，需要大家在课下去仔细分析。

（1）平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

（2）从斜面上沿水平方向抛出物体，若物体落在斜面上，物体与斜面接触时的速度方向与水平方向的夹角的正切是斜面倾角正切的二倍。

（3）上面的这句话，还可以这么来分析：从斜面上水平抛出的物体，若物体落在斜面上，物体与斜面接触时速度方向、物体与斜面接触时速度方向和斜面形成的夹角与物体抛出时的初速度无关，只取决于斜面的倾角。

平抛运动的运动轨迹为什么是二次曲线（抛物线）

我们从数学的观点来看一下为什么说平抛运动的轨迹是二次曲线，这是新课标改革新添加的内容，在大纲版中没有涉及。

我们知道，两个方向的位移公式如下：

水平方向x=v0t ；……（1）

竖直方向h=1/2gt^2 ；……（2）

把（1）中的t求出来，带入到（2）中，不难得到这样的结论：

x^2=h（2V0^2）/g ；

这就说明了，h与x这两个位移量之间是二次线性关系，且过这条函数的图像过原点。

如果写成f（x）=ax^2的形式，那么a=g/（2V0^2） ；注意，这个二次函数曲线的特点是b和c均为零。

注意，^2指的是平方的意思。 

圆周运动

严格来说，匀速圆周运动应该叫做匀速率圆周运动。因为其速度并非“均匀不变”的，速度是矢量，其大小速率不变，但是在圆周运动的过程中其方向在时刻发生变化。

匀速圆周运动的概念

质点在以某点为圆心半径为r的圆周上运动时，即其轨迹是圆周的运动叫圆周运动。如果在运动过程中速率的大小维持不变而仅仅是方向变化，这样的圆周运动称之为匀速圆周运动，也叫做匀速率圆周运动。

匀速圆周运动是一种最常见的曲线运动。例如电动机转子、车轮、皮带轮等都作圆周运动。

圆周运动分为，匀速圆周运动和变速圆周运动。在高考物理试题中，对圆周运动中的考察侧重于匀速圆周运动。

变速圆周运动的代表是：竖直平面内绳或杆转动小球、竖直平面内的圆锥摆运动等。在讲解机械振动的时候，我们研究的单摆其实在做的就是非匀速的圆周运动（往复性质）。

从运动性质上来说，匀速圆周运动是变速运动（v方向时刻在变），而且是变加速运动（a方向时刻在变）。

描述匀速圆周运动的物理量

描述匀速圆周运动的物理量有很多，包括线速度v、角速度ω、周期T、频率f、转速n、向心加速度a、向心力F等等。

转速n的单位是r/s（转每秒）或r/min（转每分），注意区分r/s和rad/s。凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。

圆周运动向心力和向心加速度

牛顿第二定律在圆周运动中的应用

1，做匀速圆周运动物体所受的合力为向心力。“向心力”是一种效果力。可以是一个力，也可以是几个力的合力，只要其最终效果是使物体做匀速圆周运动的，都可以作为向心力。

2，一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：Fn=ma在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用 等各种形式）。如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大。

3，圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。常见的水平面内的匀速圆周运动还有：汽车在水平面内转弯、物体随转盘做匀速圆周运动等，这两种情况下，都是静摩擦力充当向心力。

4．竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类。这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力的方向必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

（1）弹力方向只可能向下，如绳拉球。这种情况下有：即v≥v0，否则不能通过最高点。

（2）弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：v<v0，否则车将离开桥面，做平抛运动（当车落回路面时由于压力突然增大，可能引起爆胎，不安全）。

（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：①速度很大物体受到的弹力必然是向下的；速度太小时物体受到的弹力必然是向上的；介于两者之间的值时，物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小F<mg时，向心力有两解：mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只有一解：F +mg。

圆周运动公式整理

匀速率圆周运动的最基本公式（向心力公式）：F合=F向=m*v*w；

换句话来说，某物体在做匀速率圆周运动，必然受到外力作用，这些外力的合成效果（合外力）共同提供一个向心力，这个力的大小等于m*v*w；

其中m为物体的质量，v为物体运动的线速度，w为物体运动的角速度。向心力的方向始终指向物体圆周运动的圆心。

再来补充一下圆周运动中角速度的概念。

角速度是相对于速度来定义的。

角速度研究的是单位时间内角度的变化，其的定义w=△θ/△t；

如果是匀速率的旋转，角速度大小不变，当我们取时间△t=周期T时，不难看出w=2π/T；这个公式的应用更加广泛，在高中数学中也提及过。

我们再来补充线速度v的定义，与前面匀变速直线运动讲解的有些区别，这里的线速度的运动是弧线上的，其定义为：

v=△l/△t；

其中△l为△t时间内走过的弧长，与数学上讲解的弧长计算一直，即弧长l=Rθ，我们将其带入有

v=△l/△t=R△θ/△t=R*w；（注意后面的△θ/△t正好是w的定义）

我们将v=w*R代入F合=F向=m*v*w；有这样的一系列变形公式：

上面公式中，去掉m的部分，就是圆周运动加速度公式。

在高考物理题中，我们经常遇到这样的描述：“物体恰好运动到圆周的最高点”，“物体刚好能通过圆周的最高点”，这话句话是什么意思呢？笔者在这里做一个分析。

首先，我们必须知道圆周运动的一个基础：受到向心力的作用。任何做圆周运动的物体（不管是否匀速）都必须受到一个向心力的作用，这个向心力是其他里的综合效果。

在不同的外在情况下，受力情况是不一样的，比如绳子拉力和杆件作用力下的情况就不同，因为绳子只能提供拉力，而杆件既能够提供拉力，也可以提供张力（支持力）。

我们来看如下的4种特殊圆周运动情况及其结论：

（1）外圆弧轨道通过最高点

刚好通过最高点时，C点弹力为零；完全由重力提供向心力：F向=mg=m*v*ω；可以通过运算计算出C点的最小速度为√gR；否则物体会在半路掉下来。

（2）绳子作用下通过最高点

在最高点A点，绳子拉力（弹力）为零，完全由重力提供向心力：F向=mg=m*v*ω；这时A点的最小速度依然为√gR；否则物体会在半路掉下来。

（3）杆件作用下通过最高点

在最高点杆件作用力大小等于mg，向心力为零，合外力为零，此时v=0；F杆=mg，方向向上。最高点最小速度v=0；

（4）内外侧圆弧轨道通过最高点

内圆轨道支持力（弹力）与重力平衡，与（3）一致，向心力为零，合外力为零，此时v=0；F杆=mg，方向向上。最高点最小速度v=0；

看懂不难，能够记在心里，在考场上运用自如，除了多看几遍外，还要结合一些物理题来夯实。

扫码关注王尚老师微信公众号teacherws，免费获取物理教学视频资料。

   

高中物理知识体系图