2015年北京西城一模物理压轴题（24题）解析

简评

这道题命题新颖，不过类似的模型在2007年已经考过，具体可参考2007年天津高考物理压轴题；仔细研究过那道题，这道题就特别简单了，都是微元法的应用，要用到的核心方程，都是动量定理。此外，2008年北京高考第23题也是类似的微元法模型，同学们可以把这三道题放到一起分析，你对这类题的解法会有一个更深入的理解。

2015年北京西城一模物理第24题考点梳理

考点：微元法，模型构建，受力分析，牛顿第二定律，动量守恒定律，动量定理，动能定理。

2015年北京西城一模物理第24题原题

24．（20分）我们一般认为，飞船在远离星球的宇宙深处航行时，其它星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计。此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。

设想有一质量为M的宇宙飞船，正以速度v0在宇宙中飞行。飞船可视为横截面积为S的圆柱体（如图1所示）。某时刻飞船监测到前面有一片尘埃云。

（1）已知在开始进入尘埃云的一段很短的时间Δt内，飞船的速度减小了Δv，求这段时间内飞船受到的阻力大小。

（2）已知尘埃云分布均匀，密度为ρ。

a. 假设尘埃碰到飞船时，立即吸附在飞船表面。若不采取任何措施，飞船将不断减速。通过监测得到飞船速度的倒数”1/v“与飞行距离”x“的关系如图2所示。求飞船的速度由v0减小1%的过程中发生的位移及所用的时间。

b. 假设尘埃与飞船发生的是弹性碰撞，且不考虑尘埃间的相互作用。为了保证飞船能以速度v0匀速穿过尘埃云，在刚进入尘埃云时，飞船立即开启内置的离子加速器。已知该离子加速器是利用电场加速带电粒子，形成向外发射的高速（远远大于飞船速度）粒子流，从而对飞行器产生推力的。若发射的是一价阳离子，每个阳离子的质量为m，加速电压为U，元电荷为e。在加速过程中飞行器质量的变化可忽略。求单位时间内射出的阳离子数。

2015年北京西城一模物理第24题解析

24．（20分）解：

（1）飞船的加速度  〖1分〗

根据牛顿第二定律 

〖1分〗

飞船受到的阻力

〖2分〗

（2）a．对飞船和尘埃，根据动量守恒定律

 〖2分〗

解得 

〖1分〗

由1/v-x图象可知

 〖2分〗

解得  〖1分〗

b．设在很短的时间Δt内，与飞船碰撞的尘埃的质量为，所受飞船的作用力为。

飞船与尘埃发生的是弹性碰撞

解得 

由于，所以碰撞后尘埃的速度 v2=2v0 〖3分〗

对尘埃，根据动量定理 

其中 

则飞船所受阻力  〖2分〗

设一个离子在电场中加速后获得的速度为v。

根据动能定理  〖1分〗

设单位时间内射出的离子数为n。

在很短的时间Δt内，根据动量定理

则飞船所受动力  〖2分〗

飞船做匀速运动 

解得 〖2分〗

说明：

24（2）b，可按上述处理，即把整个过程分成若干小段，开始的一个Δt只考虑飞船（不发射粒子）与尘埃碰撞，接下来的下一个Δt只考虑飞船发射粒子（不考虑与尘埃碰撞）……

也可做如下处理：

以匀速飞行的飞船为参考系，则尘埃以速度v0向飞船运动，发生弹性碰撞后又以速度v0反弹。〖2分〗

设在很短的时间Δt内，与飞船碰撞的尘埃的质量为，所受飞船的作用力为。

对尘埃，由动量定理 

其中 

则飞船所受阻力为
〖3分〗

题外话

很可惜，北京八中的学生没有拿到满分。我们近期没有探究微元法的使用，研究比较多的是电磁感应的问题。

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